见证成长，寄语未来
——随机非线性系统辨识方面的一些研究体会

赵文虓
（中国科学院）

　　作为控制理论的一位青年研究人员，为获得第十九届“关肇直奖”而深感荣幸，这是奖励、更是激励；十分庆幸能恰逢控制理论发展、壮大的良机，同时也感到作为青年研究人员的重大责任。在此，就随机非线性系统的辨识，谈一点自己的研究体会和心得，由于作者学识所限，恳请各位专家同事不吝赐教。

　　系统辨识是利用系统的输入-输出数据来建立系统数学模型的有效手段，经过几十年的发展，线性系统的辨识理论已相当完善，并在实际应用中取得成功[1,2]。实际系统的动态特性大多是时变的、非线性的，同时系统本身往往存在随机因素或测量带有噪声。因而从随机、非线性的角度来研究辨识领域的一些问题，有科学意义和工程价值。

　　非线性的表示方式非常多样，目前自动控制领域人们的研究兴趣主要集中在具有较强工程背景的特殊非线性系统上，包括Hammerstein系统、Wiener系统、非线性ARX（NARX）系统等，研究结果显示，大部分非线性系统可为这几类系统很好地近似。很多国内外学者深入开展了这方面的研究工作[3-5]，已有辨识算法大致可分为迭代算法、极大似然算法、频率域算法、基于优化的算法和盲辨识算法等，研究成果越来越多，但现有文献中，特别对无穷脉冲响应型的上述非线性系统，鲜见递推、强一致的辨识结果，而且对不同类型非线性系统的辨识，尚未形成较统一的研究框架和处理手段。

　　作者自2005年起开始从事随机非线性系统递推辨识及相关问题研究，目前，已有一些初步成果，也有一些研究上的心得体会。我们研究发现，上述三类系统中的未知量（未知参数或未知函数在给定点的值）均是常值，因此，适当地构造以这些未知量为零点的回归函数、进而利用函数求根的思想来构造辨识算法，可能是解决这类辨识问题的一种有效思路。就辨识算法来说，我们要利用对回归函数不断测量得到的数据、递推地估计回归函数的零点，而随机逼近算法恰是解决这类问题的有力工具。另一方面，如何构造回归函数，是线性的还是非线性的？如何处理回归函数测量中伴有的随机噪声以及结构噪声？需要具体问题具体分析，是这类系统辨识的关键和难点。针对Hammerstein系统，我们利用相关函数构成的广义Yule-Walker方程来构造回归函数，结合核函数来构造基于随机逼近的辨识算法，得到了这类系统递推、强一致的估计[6]；针对Wiener系统，我们分析了线性子系统脉冲响应函数构成的Hankel矩阵的满秩性，基于此，构造了基于Hankel矩阵的回归函数，同样得到了系统的递推、强一致估计[7]；针对NARX系统，我们利用系统的马氏性，首先分析系统的平稳遍历性质，在此基础上，结合核函数构造线性回归函数及相应的随机逼近算法，也得到了递推、强一致估计[8]。基于这些研究成果，我们初步为Hammerstein系统、Wiener系统、NARX系统的辨识建立了一个统一的处理框架[9]：

“构造回归函数”+“处理噪声”。

　　 事实上，基于上述框架及理论分析方法，作者本人及学界同行还得到一批成功的后续研究，比如PageRank的分布式随机化算法收敛性分析[10]、Wiener-Hammerstein系统的递推辨识[11]、多智能体系统一致性控制[12]等。由于许多辨识和估计问题本质上可转化为求某些回归函数的零点，因此，以上思路及框架对于解决相关问题或有裨益。上述研究中均假设系统中的未知参数为定常，目前，时变参数非线性系统的辨识、基于分布式测量的系统辨识和网络建模与估计逐渐成为热点，但相关研究刚刚起步，值得关注。

　　“关肇直奖”即将跨入第二十个年头，恰似一个青年要迈入人生最精彩、最富活力的篇章。愿在学界前辈的带领和指导下，与年轻朋友们共同努力，为控制理论的发展、壮大贡献自己的绵薄之力。

参考文献：
[1] L. Ljung. System Identification. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1987.
[2] H. F. Chen, L. Guo. Identification and Stochastic Adaptive Control. Boston, MA: Birkhauser, 1991.
[3] 贾立，李训龙，Hammerstein 模型辨识的回顾及展望，控制理论与应用，第31 卷第1期，1-10，2014.
[4] E. W. Bai, D. Li. Convergence of the iterative Hammerstein system identification algorithm. IEEE Trans. Automatic Control, Vol. 49, No. 11, pp. 1929-1940, 2004.
[5] A. Hagenblad, L. Ljung, A. Wills. Maximum likelihood identification of Wiener models. Automatica, Vol. 44, pp. 2697-2705, 2008.
[6] W. X. Zhao, H.-F. Chen. Recursive identification for Hammerstein systems with ARX subsystem. IEEE Trans. Automatic Control, Vol. 51, No. 12, pp. 1966-1974, 2006.
[7] W. X. Zhao, H.-F. Chen. Markov chain approach to identifying Wiener systems. Science China: Information Science, Vol. 55, pp. 1201-1217, 2012.
[8] W. X. Zhao, H. F. Chen, W. X. Zheng. Recursive identification for nonlinear ARX systems based on stochastic approximation algorithm. IEEE Trans. Automatic Control, Vol. 55, No. 6, pp. 1287-1299, 2010.
[9] W. X. Zhao, H.-F. Chen. Identification of Wiener, Hammerstein, and NARX systems as Markov chains with improved estimates for their nonlinearities. Systems and Control Letters, Vol. 61, pp. 1175-1186, 2012.
[10] W. X. Zhao, H.-F. Chen, H. T. Fang. Convergence of distributed randomized PageRank algorithms, IEEE Trans. Automatic Control, Vol. 58, No. 12, pp. 3255-3259, 2013.
[11] B.Q. Mu and H.-F. Chen. Recursive identification of Wiener-Hammerstein systems. SIAM Journal of Control Optimization, Vol. 50, No. 5, pp. 2621-2658, 2012.
[12] H.T. Fang, H.-F. Chen, and L. Wen. On control of strong consensus for networked agents with noisy observations. Journal of Systems Science and Complexity, Vol. 25, pp. 1-12, 2012.

获奖者简介：

　　赵文虓，男，1981出生，毕业于山东大学，2008年于中国科学院数学与系统科学研究院获理学博士，其后在清华大学自动化系从事博士后研究，曾赴澳大利亚西悉尼大学进行学术访问，现任中国科学院数学与系统科学研究院副研究员。研究方向集中在系统辨识、网络建模以及系统生物学中的参数估计等问题。