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有问必答 |
自“有问必答”栏目开通以来，得到了许多读者的关心和支持，我们在此深表谢意。如果大家有何想法和建议可将本栏目办得更出色，欢迎随时来信联系。我们计划下一期继续推出专家访谈，敬请读者关注。 本期栏目得到美国佛罗里达大西洋大学王沅教授和加州大学Santa Barbara分校Teel教授的支持，我们在此一并致谢。 吉林大学控制科学与工程系于博士来信问起一个有趣的稳定性问题： “离散时间系统的输入到状态的稳定性(ISS)要求选取系统的Lyapunov函数关于系统的状态连续。对于切换系统或者存在控制器切换的系统，选择满足连续性假设的系统Lyapunov函数并不是一件很容易的工作。在已知的文献中是否存在这样的讨论，即系统的输入到状态的稳定性不依赖于Lyapunov函数关于状态的连续性条件？” 答(“有问必答”栏目组)：这个问题提得好，其实牵涉到几个问题，有待进一步的深入研究。第一，早期有关离散ISS的研究主要针对的是连续的非线性系统。当离散非线性系统是不连续时，相关的推广可借助于差分嵌入(difference inclusion)的技术，可见Teel和他团队的后续推广研究。不连续和连续Lyapunov函数的存在性皆有考虑。比如，见(D. Nešić, A.R. Teel, P.V. Kokotović, Sufficient conditions for stabilization of sampled-data nonlinear systems via discrete-time approximations, Systems & Control Letters, Vol. 38, No. 4–5, 1999, pp. 259-270)。更重要也有点吃惊的结果是，Teel的研究证明了，连续的Lyapunov函数的存在性是不连续离散系统鲁棒稳定性的充要条件。见C.M. Kellett, A.R. Teel, Smooth Lyapunov functions and robustness of stability for difference inclusions, Systems & Control Letters, 2004和C.M. Kellett, A.R. Teel, On the Robustness of KL-stability for Difference Inclusions: Smooth Discrete-Time Lyapunov Functions，SIAM Journal on Control and Optimization, 2005。相关结论不难推广到离散ISS的情况。最新结果可见Teel在更广一类的混杂动力学系统的工作，见C. Cai, A.R. Teel, Characterizations of input-to-state stability for hybrid systems, Systems & Control Letters, 2009。当然，如何构造一般离散非线性系统情况下（连续或非连续）Lyapunov函数是一个很难的问题。也许针对一类离散非线性系统可以有构造性方法，值得进一步深入地研究。 第二，ISS稳定性有许多等价刻划，Lyapunov函数是其中一种刻划而已(见Sontag-Wang, Systems & Control Letters, 1995; Jiang-Wang, Automatica, 2001; 以及Cai-Teel, Systems & Control Letters, 2009)。但对于一般的非线性系统而言，它是唯一的系统化的方法。针对特殊的工程应用或控制问题，只能具体问题具体分析了。 第三，至于切换系统方面的应用，本质上属于控制问题。连续切换系统方面的ISS稳定性文章最近有一些，针对离散切换系统的ISS稳定性文章相对来说不多，值得进一步关注。我们认为早期有关ISS连续Lyapunov函数的结论依然可以适用，其他相应的研究方法可以基于Teel的不连续Lyapunov刻划或者Hespanhan, Morse的有关average dwell time工作。 |
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