有问必答

　　　　　　　　　　　　　——“有问必答”栏目组

　　本期“有问必答”栏目我们回答来自哈尔滨工业大学一位读者的问题。有关LMI的话题我们在国际会议中经常听到，我们的回答仅限于个人的一些思考与想法。

　　问：从上个世纪末至今，以线性矩阵不等式(LMI)为基本工具的控制方法得到了非常广泛的研究，发表的论文可谓汗牛充栋。这类方法的基本思路是将一个问题的可解性转换（通常不等价）为一组LMI的可解性。而除了一些简单或者特殊的情形，一般情况下LMI的可解性必须借助计算机才能判断。我想请教的问题是，如果一个判断可解性的问题被转换成另外一个必须借助计算机才能判断的可解性问题，那么这个问题算是彻底解决了吗？这种计算机依赖的解法是否预示着一场新的思维革命？

　　上述问题这让我想起了世界近代三大数学难题之一的四色猜想问题（任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色）。地图四色猜想自1852年提出以来 ，100多年毫无进展，直至1976年美国的两位数学家宣告借助电子计算机获得了它的证明，但由于这个证明必须借助计算机而无法用人手直接验证，它并不被所有的数学家所接受，但也有人认为它给数学研究带来了许多重要的新思维。

　　答：LMI在系统与控制中的应用可追朔到早期的Lyapunov稳定性理论及正实性引理。虽然人们早己意识到LMI的潜在应用，但有限的计算工具局限了它的应用范围。随着解决线性规划问题的多项式时间算法(Karmarkar，1984)与解决涉及LMI约束的凸优化问题的内点算法(Nesterov 和 Nemirovskii，1988)的出现，LMI方法在过去二十年被广泛用来解决控制系统分析与设计问题，特别是那些不存在或人们还不知道是否存在解析解的问题，包括鲁棒控制、时延系统、多目标控制等等。许多原来是非凸的问题，通过LMI方法可以将其转换成凸的带LMI约束的问题，从而可以非常有效得到一个数值解。但是，LMI不是万能的，对大部分问题而言，这种转换是充分的，意味着得到的数值解是保守的，也缺少对解的保守性的评估。因此，虽然有许许多多文章试图用LMI方法解决这些问题如时延系统问题，这些问题并没有得到根本解决。另一方面，就控制系统设计和分析问题而言，LMI能给出一个数值解，但是并没有对系统理论如可控性/可稳性、可观性/可测性、可达性等有贡献, 对帮助人们认识许多问题的本质也有限。此外，LMI方法对一般非线性系统分析与控制问题是否像线性系统那样有效也有待进一步深入研究。应该来说，每个工具都有其适用性和局限性，关键是看我们面对什么问题, 想解决什么问题及解决到什么程度。

　　当然，这种计算机依赖的解法是否预示着一场新的思维革命，我们只能拭目以待。

　　中国自动化学会 控制理论专业委员会
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